Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть относительно ПДСК дана прямая l, заданная своими каноническими уравнениями (x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n и плоскость α, заданная своим общим уравнением: Ax+By+Cz+D=0.
1) Прямая l и плоскость α пересекаются тогда и только тогда, когда Al+Bm+Cn≠0.
2) Прямая l и плоскость α параллельны тогда и только тогда, когда Al+Bm+Cn=0 и Ax0+By0+Cz0+D≠0.
3) Прямая l лежит на плоскости α тогда и только тогда, когда Al+Bm+Cn=0 и Ax0+By0+Cz0+D=0.
Доказательство: докажем только достаточное условие доказываемых утверждений. Необходимые условия доказываются сразу же методом от противного. Запишем уравнения прямой l в параметрическом виде: x=x0+lt, y=y0+mt, z=z0+nt (l'). Подставим равенство в параметрическом уравнении l' в общее уравнение α: A(x0+lt)+B(y0+mt)+C(z0+nt)+D=0. Из последнего равенства следует (Al+Bm+Cn)t+(Ax0+By0+Cz0+D)=0 (*).
1) Если Al+Bm+Cn≠0, то уравнение * имеет относительно t единственное решение: t=-(Ax0+By0+Cz0+D)/(Al+Bm+Cn), а значит, прямая l и плоскость α имеют только одну общую точку, то есть пересекаются.
2) Если Al+Bm+Cn=0 и Ax0+By0+Cz0+D≠0, то уравнение * неразрешимо относительно t, следовательно, прямая и плоскость не имеют общих точек, а значит, они параллельны.
3) Если Al+Bm+Cn=0, Ax0+By0+Cz0+D=0, то уравнение * разрешимо при любом t, следовательно, каждая точка, лежащая на прямой лежит и на плоскости, значит, вся прямая принадлежит плоскости.
1) Прямая l и плоскость α пересекаются тогда и только тогда, когда Al+Bm+Cn≠0.
2) Прямая l и плоскость α параллельны тогда и только тогда, когда Al+Bm+Cn=0 и Ax0+By0+Cz0+D≠0.
3) Прямая l лежит на плоскости α тогда и только тогда, когда Al+Bm+Cn=0 и Ax0+By0+Cz0+D=0.
Доказательство: докажем только достаточное условие доказываемых утверждений. Необходимые условия доказываются сразу же методом от противного. Запишем уравнения прямой l в параметрическом виде: x=x0+lt, y=y0+mt, z=z0+nt (l'). Подставим равенство в параметрическом уравнении l' в общее уравнение α: A(x0+lt)+B(y0+mt)+C(z0+nt)+D=0. Из последнего равенства следует (Al+Bm+Cn)t+(Ax0+By0+Cz0+D)=0 (*).
1) Если Al+Bm+Cn≠0, то уравнение * имеет относительно t единственное решение: t=-(Ax0+By0+Cz0+D)/(Al+Bm+Cn), а значит, прямая l и плоскость α имеют только одну общую точку, то есть пересекаются.
2) Если Al+Bm+Cn=0 и Ax0+By0+Cz0+D≠0, то уравнение * неразрешимо относительно t, следовательно, прямая и плоскость не имеют общих точек, а значит, они параллельны.
3) Если Al+Bm+Cn=0, Ax0+By0+Cz0+D=0, то уравнение * разрешимо при любом t, следовательно, каждая точка, лежащая на прямой лежит и на плоскости, значит, вся прямая принадлежит плоскости.
Всё для учебы » Аналитическая геометрия » Взаимное расположение прямой и плоскости