Параметрические уравнения плоскости
Параметрические уравнения плоскости, проходящей через точку M0 (x0, y0, z0) и два неколлинеарных вектора, заданных относительно прямоугольной декартовой системы координат a={a1, a2, a3}, b={b1, b2, b3}, определяются следующими формулами:
|x=x0+u•a1+v•b1
{y=y0+u•a2+v•b2
|z=z0+u•a3+v•b3
Доказательство: пусть на плоскости относительно прямоугольной декартовой системы координат дана точка M0(x0, y0, z0) и два неколлинеарных вектора a={a1, a2, a3}, b={b1, b2, b3}. На плоскости возьмем M(x, y, z). Составим вектор M0M={x-x0, y-y0, z-z0}. Векторы M0M, a, b компланарны. Так как векторы a и b неколлинеарны и лежат на одной плоскости, то их можно взять в качестве базиса. Тогда M0M можно разложить по вектору базиса ab, то есть M0M=u•a+v•b или в координатной форме {x-x0, y-y0, z-z0}={ua1+vb1, ua2+vb2, ua3+vb3}. Из равенства двух векторов следует равенство их координат.
|x=x0+u•a1+v•b1
{y=y0+u•a2+v•b2
|z=z0+u•a3+v•b3
Доказательство: пусть на плоскости относительно прямоугольной декартовой системы координат дана точка M0(x0, y0, z0) и два неколлинеарных вектора a={a1, a2, a3}, b={b1, b2, b3}. На плоскости возьмем M(x, y, z). Составим вектор M0M={x-x0, y-y0, z-z0}. Векторы M0M, a, b компланарны. Так как векторы a и b неколлинеарны и лежат на одной плоскости, то их можно взять в качестве базиса. Тогда M0M можно разложить по вектору базиса ab, то есть M0M=u•a+v•b или в координатной форме {x-x0, y-y0, z-z0}={ua1+vb1, ua2+vb2, ua3+vb3}. Из равенства двух векторов следует равенство их координат.
Всё для учебы » Аналитическая геометрия » Параметрические уравнения плоскости