Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть относительно ПДСК заданы плоскости α и β своими общими уравнениями:
α: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0
β: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

1. Плоскости α и β пересекаются тогда и только тогда, когда A₁/A₂=B₁/B₂≠C₁/C₂.
2. α || β тогда и только тогда, когда A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂≠D1/D2.
3. Плоскости α и β совпадают тогда и только тогда, когда A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂.

http://uchim.org/algebra-i-geometrija/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-ploskostej - uchim.org

Докажем достаточные условия.
1) Пусть коэффициенты при неизвестных x, y, z непропорциональны, то есть A₁/A₂≠B₁/B₂≠C₁/C₂. Докажем, что α и β пересекаются.
Так как коэффициенты при x, y, z непропорциональны, то существуют пары соответствующих непропорциональных чисел A₁, B₁ и A₂, B₂. В уравнениях плоскостей α и β положим z=0. Имеем две прямые с общими уравнениями:
l₁: A₁x+B₁y+D₁=0.
l₂: A₂x+B₂y+D₂=0.
Причем, A₁/A₂≠B₁/B₂ => l₁ и l₂ пересекаются, а значит пересекаются и плоскости, содержащие их.
2) По условию второго утверждения существует константа λ=A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂≠D1/D2. Тогда уравнение плоскости α можно переписать в виде A₁x+B₁y+C₁z+D₁=λA₂x+λB₂y+λC₂z+D₁=0. Следовательно, A₂x+B₂y+C₂z+D₁/λ=0 (α'). Уравнения α' и β не имеют общего решения, а значит не имеют общего решения уравнения α и β, следовательно плоскости α и β параллельны.
3) Из условия третьего утверждения следует существование константы λ, такой, что λ=A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂.

Тогда уравнение плоскости α перепишем в виде λA₂x+λB₂y+λC₂z+λD₂=0 (α''). Очевидно, что уравнения α'' и β эквивалентны, а значит эквивалентны и уравнения α и β => α и β совпадают.
Необходимые условия утверждений доказываются сразу методом от противного.

Всё для учебы » Аналитическая геометрия » Взаимное расположение двух плоскостей