Общее уравнение плоскости
Теорема 1. Плоскость α относительно прямоугольного декартового базиса i, j, k задается уравнением первой степени вида Ax+By+Cz+D=0. На плоскости α относительно прямоугольного декартового базиса i, j, k возьмем M0(x0, y0, z0) и два неколлинеарных вектора: a={a1, a2, a3}, b={b1, b2, b3}. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и два неколлинеарных вектора имеет вид:
x-x0 | y-y0 | z-z0 |
a1 | a2 | a3 |
b1 | b2 | b3 |
Левую часть равенства распишем относительно левой строки.
https://uchim.org/algebra-i-geometrija/obshhee-uravnenie-ploskosti - uchim.org
=0Так как векторы a и b неколлинеарны, то по-крайней мере один из определителей в последнем равенстве не равен нулю.
A=
a2 | a3 |
b2 | b3 |
a3 | a1 |
b3 | b1 |
a1 | a2 |
b1 | b2 |
Теорема 2 (обратная). Всякое уравнение первой степени Ax+By+Cz+D=0 в общей декартовой системе координат является уравнением плоскости.
Замечание: вектор n задан своими координатами относительно прямоугольного базиса i, j, k. n={A, B, C}⊥α.
Доказательство: берем любые две точки M1 и M2, принадлежащие плоскости с координатами M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), тогда Ax1+By1+Cz1+D=0. Ax2+By2+Cz2+D=0. Из второго равенства вычитаем первое. A(x2-x1)+B(y2-y1)+C(z2-z1)=0. n•M1M2=0 => n⊥M1M2. Так как M1 и M2 были выбраны на плоскости произвольным образом, то n⊥M1M2=>n⊥α, что и требовалось доказать.
Всё для учебы » Аналитическая геометрия » Общее уравнение плоскости