Общее уравнение плоскости

Теорема 1. Плоскость α относительно прямоугольного декартового базиса i, j, k задается уравнением первой степени вида Ax+By+Cz+D=0. На плоскости α относительно прямоугольного декартового базиса i, j, k возьмем M₀(x₀, y₀, z₀) и два неколлинеарных вектора: a={a₁, a₂, a₃}, b={b₁, b₂, b₃}. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ и два неколлинеарных вектора имеет вид:

x-x0	y-y0	z-z0
a1	a2	a3
b1	b2	b3

=0
Левую часть равенства распишем относительно левой строки.
+ +

http://uchim.org/algebra-i-geometrija/obshhee-uravnenie-ploskosti - uchim.org

=0
Так как векторы a и b неколлинеарны, то по-крайней мере один из определителей в последнем равенстве не равен нулю.
A=

a2	a3
b2	b3

B=

a3	a1
b3	b1

C=

a1	a2
b1	b2

D=-Ax₀-By₀-Cz₀. Тогда последнее равенство перепишем в виде Ax+By+Cz+D=0 - общее уравнение плоскости, что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная). Всякое уравнение первой степени Ax+By+Cz+D=0 в общей декартовой системе координат является уравнением плоскости.
Замечание: вектор n задан своими координатами относительно прямоугольного базиса i, j, k. n={A, B, C}⊥α.

Доказательство: берем любые две точки M₁ и M₂, принадлежащие плоскости с координатами M₁(x₁, y₁, z₁), M₂(x₂, y₂, z₂), тогда Ax₁+By₁+Cz₁+D=0. Ax₂+By₂+Cz₂+D=0. Из второго равенства вычитаем первое. A(x₂-x₁)+B(y₂-y₁)+C(z₂-z₁)=0. n•M₁M₂=0 => n⊥M₁M₂. Так как M₁ и M₂ были выбраны на плоскости произвольным образом, то n⊥M₁M₂=>n⊥α, что и требовалось доказать.

Всё для учебы » Аналитическая геометрия » Общее уравнение плоскости