Уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Параметрические уравнения прямой
В ПДСК уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0, y0, z0) в данном направлении a={l, m, n}, имеет вид (x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n (канонические уравнения прямой) или в параметрической форме
x=x0+lt, y=y0+mt, z=z0+nt.
Доказательство: произвольная точка M(x, y, z) лежит на прямой, проходящей через M0(x0, y0, z0) коллинеарно вектору a={l, m, n} тогда и только тогда, когда M0M={x-x0, y-y0, z-z0} коллинеарен вектору a, то есть тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны: (x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n. Так как вектор a отличен от нулевого вектора, то условие компланарности векторов M0M и a запишется в виде равенства M0M=ta или в координатной форме {x-x0, y-y0, z-z0}={tl, tm, tn}. Учитывая тот факт, что два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, имеем:
(x-x0=tl
{y-y0=tm
(z-z0=tn
Следовательно
(x=x0+tl
{y=y0+tm
(z=z0+tn
x=x0+lt, y=y0+mt, z=z0+nt.
Доказательство: произвольная точка M(x, y, z) лежит на прямой, проходящей через M0(x0, y0, z0) коллинеарно вектору a={l, m, n} тогда и только тогда, когда M0M={x-x0, y-y0, z-z0} коллинеарен вектору a, то есть тогда и только тогда, когда координаты этих векторов пропорциональны: (x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n. Так как вектор a отличен от нулевого вектора, то условие компланарности векторов M0M и a запишется в виде равенства M0M=ta или в координатной форме {x-x0, y-y0, z-z0}={tl, tm, tn}. Учитывая тот факт, что два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты, имеем:
(x-x0=tl
{y-y0=tm
(z-z0=tn
Следовательно
(x=x0+tl
{y=y0+tm
(z=z0+tn
Всё для учебы » Аналитическая геометрия » Уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении. Параметрические уравнения прямой