Условие компланарности вектора и плоскости

Пусть относительно общей декартовой системы координат в пространстве задана плоскость своим общим уравнением Ax+By+Cz+D=0. От произвольной точки M₀ с координатами (x₀, y₀, z₀) на плоскости α отложим вектор a={l, m, n}. Конец этого вектора - точка P (x₀+l, y₀+m, z₀+n). Вектор a компланарен плоскости α тогда и только тогда, когда точка P принадлежит плоскости α, то есть координаты точки P удовлетворяют уравнению плоскости α. A(x₀+l)+B(y₀+m)+C(z₀+n)+D=0. Последнее равенство перепишем в виде (Ax₀+By₀+Cz₀+D)+(Al+Bm+Cn)=0. Выражение в первой скобке обращается в 0 тогда и только тогда, когда точка M₀ принадлежит α, следовательно Al+Bm+Cn=0. Таким образом, установлено справедливое утверждение. Относительно общей декартовой системы координат, вектор a компланарен плоскости α (Ax+by+Cz+D=0) тогда и только тогда, когда Al+Bm+Cn=0.

Всё для учебы » Аналитическая геометрия » Условие компланарности вектора и плоскости