Общее уравнение плоскости

Теорема 1. Плоскость α относительно прямоугольного декартового базиса i, j, k задается уравнением первой степени вида Ax+By+Cz+D=0. На плоскости α относительно прямоугольного декартового базиса i, j, k возьмем M0(x0, y0, z0) и два неколлинеарных вектора: a={a1, a2, a3}, b={b1, b2, b3}. Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и два неколлинеарных вектора имеет вид:

x-x0 y-y0 z-z0
a1 a2 a3
b1 b2 b3
=0
Левую часть равенства распишем относительно левой строки.
a2 a3
(x-x0)
b2 b3
+
a3 a1
(y-y0)
b3 b1
+
a1 a2
(z-z0)
b1 b2

http://uchim.org/algebra-i-geometrija/obshhee-uravnenie-ploskosti - uchim.org

=0
Так как векторы a и b неколлинеарны, то по-крайней мере один из определителей в последнем равенстве не равен нулю.
A=
a2 a3
b2 b3
B=
a3 a1
b3 b1
C=
a1 a2
b1 b2
D=-Ax0-By0-Cz0. Тогда последнее равенство перепишем в виде Ax+By+Cz+D=0 - общее уравнение плоскости, что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная). Всякое уравнение первой степени Ax+By+Cz+D=0 в общей декартовой системе координат является уравнением плоскости.
Замечание: вектор n задан своими координатами относительно прямоугольного базиса i, j, k. n={A, B, C}⊥α.

Доказательство: берем любые две точки M1 и M2, принадлежащие плоскости с координатами M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), тогда Ax1+By1+Cz1+D=0. Ax2+By2+Cz2+D=0. Из второго равенства вычитаем первое. A(x2-x1)+B(y2-y1)+C(z2-z1)=0. n•M1M2=0 => n⊥M1M2. Так как M1 и M2 были выбраны на плоскости произвольным образом, то n⊥M1M2=>n⊥α, что и требовалось доказать.

Всё для учебы » Аналитическая геометрия » Общее уравнение плоскости

Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.

Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:


Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):

Материалы по теме
Популярное