Прямая как линия пересечения двух плоскостей

Пусть относительно ПДСК заданы две плоскости своими общими уравнениями, пересекающихся по некоторой прямой: α: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0. β: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0. Запишем канонические уравнения прямой, полученные в результате пересечения плоскостей α и β. Пусть x₀, y₀, z₀ - какое-либо решение
{A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0.
{A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.
Точка M₀(x₀, y₀, z₀) принадлежит прямой пересечения плоскостей α и β. Покажем, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор a с координатами
{B₁ C₁ C₁ A₁ A₁ B₁}
{B₂ C₂,C₂ A₂,A₂ B₂}.
В самом деле, в силу необходимого и достаточного условия компланарности вектора и плоскости имеем N₁={A₁, B₁, C₁}, N₂={A₂, B₂, C₂}.

Так как определитель содержит две одинаковые строки, то направляющий вектор прямой, полученный в результате пересечения плоскостей α и β, компланарен плоскости α, а значит, и сама прямая компланарна плоскости α. Аналогично проверяем компланарность направляющего вектора прямой и плоскости β.
Таким образом, вектор а можно выбрать в качестве направляющего вектора прямой, полученной в результате пересечения плоскостей α и β. Каноническое уравнение прямой имеет вид:

Всё для учебы » Аналитическая геометрия » Прямая как линия пересечения двух плоскостей