Взаимное расположение двух плоскостей

Пусть относительно ПДСК заданы плоскости α и β своими общими уравнениями:
α: A1x+B1y+C1z+D1=0
β: A2x+B2y+C2z+D2=0.
  1. Плоскости α и β пересекаются тогда и только тогда, когда A1/A2=B1/B2≠C1/C2.
  2. α || β тогда и только тогда, когда A1/A2=B1/B2=C1/C2≠D1/D2.
  3. Плоскости α и β совпадают тогда и только тогда, когда A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2.

http://uchim.org/algebra-i-geometrija/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-ploskostej - uchim.org

Докажем достаточные условия.
1) Пусть коэффициенты при неизвестных x, y, z непропорциональны, то есть A1/A2≠B1/B2≠C1/C2. Докажем, что α и β пересекаются.
Так как коэффициенты при x, y, z непропорциональны, то существуют пары соответствующих непропорциональных чисел A1, B1 и A2, B2. В уравнениях плоскостей α и β положим z=0. Имеем две прямые с общими уравнениями:
l1: A1x+B1y+D1=0.
l2: A2x+B2y+D2=0.
Причем, A1/A2≠B1/B2 => l1 и l2 пересекаются, а значит пересекаются и плоскости, содержащие их.
2) По условию второго утверждения существует константа λ=A1/A2=B1/B2=C1/C2≠D1/D2. Тогда уравнение плоскости α можно переписать в виде A1x+B1y+C1z+D1=λA2x+λB2y+λC2z+D1=0. Следовательно, A2x+B2y+C2z+D1/λ=0 (α'). Уравнения α' и β не имеют общего решения, а значит не имеют общего решения уравнения α и β, следовательно плоскости α и β параллельны.
3) Из условия третьего утверждения следует существование константы λ, такой, что λ=A1/A2=B1/B2=C1/C2=D1/D2.

Тогда уравнение плоскости α перепишем в виде λA2x+λB2y+λC2z+λD2=0 (α''). Очевидно, что уравнения α'' и β эквивалентны, а значит эквивалентны и уравнения α и β => α и β совпадают.
Необходимые условия утверждений доказываются сразу методом от противного.

Всё для учебы » Аналитическая геометрия » Взаимное расположение двух плоскостей

Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.

Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:


Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):

Материалы по теме
Популярное