Взаимное расположение двух прямых

Пусть относительно ПДСК заданы две прямые своими каноническими уравнениями:
l1: (x-x1)/l1=(y-y1)/m1=(z-z1)/n1
l2: (x-x2)/l2=(y-y2)/m2=(z-z2)/n2
1) Прямые l1 и l2 скрещиваются (не лежат на одной плоскости) тогда и только тогда, когда
Δ=
x2-x1 y2-y1 z2-z1
l1 m1 n1
l2 m2 n2
≠0
2) Прямые l1 и l2 пересекаются тогда и только тогда, когда определитель Δ=0 и векторы a1={l1, m1, n1} и a2={l2, m2, n2} неколлинеарны.
3) Прямые l1 и l2 параллельны тогда и только тогда, когда векторы a1 и a2 коллинеарны, а вектор M1M2={x2-x1, y2-y1, z2-z1} неколлинеарен им.
4) Прямые l1 и l2 совпадают тогда и только тогда, когда векторы a1, a2, M1M2 коллинеарны.

Доказательство: докажем только достаточное условие утверждений, необходимые условия доказываются методом от противного.
1) Пусть определитель Δ≠0, отсюда следует, что векторы a1, a2, M1M2 некомпланарны, то есть не лежат на одной плоскости. Следовательно, прямые l1 и l2 не лежат на одной плоскости, а значит они скрещиваются.
2) Пусть определитель Δ=0, а векторы a1 и a2 неколлинеарны, тогда: 1. Из равенства Δ=0 следует, что векторы a1, a2, M1M2 компланарны, то есть лежат на одной плоскости. 2. Так как a1 и a2 неколлинеарны, то прямые l1 и l2 пересекаются.
3) Векторы a1 и a2 коллинеарны, значит прямые либо параллельны, либо совпадают, но так как M1M2 неколлинеарен им, то прямые l1 и l2 параллельны.
4) Так как по условию четвертого утверждения векторы a1 и a2 коллинеарны, то прямые l1 и l2 либо параллельны, либо совпадают, но так как M1M2 коллинеарен a1 и a2, то прямые l1 и l2 совпадают.

http://uchim.org/algebra-i-geometrija/vzaimnoe-raspolozhenie-dvuh-prjamyh - uchim.org

Всё для учебы » Аналитическая геометрия » Взаимное расположение двух прямых

Чтобы добавить страницу в закладки, нажмите Ctrl+D.

Если страница помогла, сохраните её и поделитесь ссылкой с друзьями:


Группа с кучей полезной информации (подпишитесь, если предстоит ЕГЭ или ОГЭ):

Материалы по теме
Популярное